n^2 – (n–1)^2 = 2n – 1
i
wszystko staje się jasne – wynikiem jest wzór na liczby nieparzyste.
Stąd wniosek: każda liczba nieparzysta jest różnicą dwóch kwadratów. Czy
każda parzysta również? Nie, w tym przypadku różnicami są tylko
wielokrotności czterech (4, 8, 12, 16, 20,…). A zatem różnica kwadratów
może być każdą liczbą oprócz określonych wzorem 4k + 2 (2, 6, 10, 14,
18,…). Albo inaczej: każdą, którą można przedstawić jako iloczyn dwu
liczb nieparzystych lub dwu parzystych. Z tym sformułowaniem wiąże się
prosta metoda znajdowania wszystkich sposobów przedstawienia danej
liczby jako różnicy dwóch kwadratów.
Weźmy liczbę 2013. Z jej rozkładu na czynniki pierwsze (3 × 11 × 61) wynika, że można ją zapisać jako iloczyn dwu liczb nieparzystych na cztery sposoby:
61 × 33, 183 × 11, 671 × 3, 2013 × 1.
Tyle samo będzie sposobów przedstawienia jej jako różnicy dwóch kwadratów, a do każdego bezpośrednio prowadzi wzór:
[(a + b)/2]^2 – [(a – b)/2]^2
[(61 + 33)/2]^2 – [(61 – 33)/2]^2 = 47^2 – 14^2
Trzy kolejne sposoby, uzyskane po podstawieniu do wzoru czynników, to:
97^2 – 86^2 , 337^2 – 334^2 i 1007^2 – 1006 ^2.
Cztery
sposoby dla tak dużej liczby to niewiele, skoro najmniejszą z
„czworaczkami” jest 96. Wśród liczb mniejszych od 2013 trzy (1440, 1680,
1920) dają się zapisać jako różnica kwadratów aż na tuzin sposobów.
Z powyższego wzoru wynika też interesująca własność liczb pierwszych:
można je zapisywać jako różnicę kwadratów tylko w jeden sposób, a
kwadraty te są zawsze dwoma kolejnymi.
Na przykład: 13 = 7^2 – 6^2 , 2011 = 1006^2 – 1005^2 .
W
teorii liczb zagadnieniem znacznie bardziej obszernym i trudniejszym
niż różnice kwadratów są ich sumy. Najbardziej ogólne pytanie brzmi:
które liczby mogą być sumami n kwadratów? Ogólną odpowiedzią jest
twierdzenie Lagrange’a: jeśli n = 4, to wszystkie. Każdą liczbę
naturalną można zapisać w postaci sumy czterech kwadratów liczb
całkowitych. Gdybyśmy jednak ograniczyli się do kwadratów liczb
dodatnich, czyli pominęli zero, to w twierdzeniu zamiast n = 4
pojawiłoby się n ≤ 4. Jest bowiem nieskończenie wiele liczb, których nie
sposób przedstawić jako kwartetu kwadratów bez skorzystania z zer.
Należą do nich, poza większością liczb jednocyfrowych – oprócz 4 (1^2 +
1^2 + 1^2 + 1^2 ) i 7 (2^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 ) – na przykład 32 i 56; 32
= 4^2 + 4^2 , a 56 = 6^2 + 4^2 + 2^2 – innych możliwości bez zer nie ma
(dla n ≤ 4), a zatem jeśli n ma być równe 4, to zapisy trzeba uzupełnić
zerami, czyli: 32 = 4^2 + 4^2 + 0^2 + 0^2 oraz 56 = 6^2 + 4^2 + 2^2 +
0^2 . Poza tym, jeśli nie uwzględniać zer, to sumą n ≤ 4 kwadratów nie
obsłuży się liczby 1.
Składaniem
liczb z kwadratów zajmowało się od starożytności wielu znanych
matematyków. Ta pozornie prosta czynność przypomina realizowanie przez
hurtownię zamówień na jakieś towary dostępne w paczkach, zawierających
po 1^2 , 2^2 , 3^2 ,…, n^2 sztuk. Jeśli hurtownia jest „matematyczna”,
czyli paczek różnej wielkości jest zawsze pod dostatkiem, a magazynier
zna twierdzenie Lagrange’a, to w każdej wysyłce znajdą się co najwyżej
cztery paczki. Kłopot polega tylko na ustaleniu, ile najmniej i jakie
konkretnie. Temat okazał się wyzwaniem i przez wieki obrósł w wiele
podtematów, bo zamówienia mogą być specyficzne. Gdyby na przykład klient
zażyczył sobie z 2 sztuk towaru, to przy ograniczeniu przesyłki do
dwóch paczek pojawiłby się najbardziej znany podtemat, czyli twierdzenie
Pitagorasa, a ściślej tzw. trójki pitagorejskie określone równaniem
x^2 + y^2 = z^2 .
Dla
małych z nietrudno wybrać odpowiednie paczki z x^2 i y^2 towarami –
zakładając, że dla dwóch paczek będzie to możliwe. Gdyby jednak
zamówienie opiewało np. na 2013^2 = 4 052 169 sztuk, to należałoby
skorzystać z podanych przez Euklidesa wzorów, które pozwalają generować
trójki pitagorejskie (x, y, z) z pary liczb naturalnych m i n,
spełniających trzy warunki (jedna z nich jest nieparzysta, a druga
parzysta; obie są względnie pierwsze, czyli nie mają wspólnych
dzielników; m>n):
x = m^2 – n^2 , y = 2mn, z = m^2 + n^2
Z
trzeciego wzoru wynika, że problem z z^2 sztukami towaru sprowadza się
do z sztuk, czyli trzeba się najpierw uporać z pozornie prostszym
podziałem 2013 na dwa kwadraty.
Dzieląc
dowolny kwadrat przez 4, otrzymamy resztę 1 dla kwadratu nieparzystego
lub 0 – dla parzystego. Suma dwóch kwadratów powinna więc być albo
wielokrotnością czterech, gdy oba kwadraty są parzyste, albo mieć postać
4a + 1 (parzysty i nieparzysty) lub 4a + 2 (oba nieparzyste). Gdyby
więc zamówiono 2011 lub 2015 sztuk, to dwie paczki z kwadratami na pewno
by nie wystarczyły, bo obie te liczby są postaci 4a + 3. Czy w
przypadku 2013 = 4a + 1 wystarczą? Okazuje się, że także nie. Żaden z
kilku dowodów niemożności zapisania określonych liczb (innych niż
postaci 4a + 3) jako sumy pary kwadratów nie jest na tyle krótki, ani
prosty, aby go tu przedstawić, ale wszystkie sprowadzają się do łatwego,
podanego w XVII wieku przez Girarda i Fermata, sposobu ustalenia, czy
taki zapis jest możliwy. Należy rozłożyć daną liczbę na czynniki
pierwsze i sprawdzić, czy liczba każdego z czynników, wyrażających się
wzorem 4a + 3, jest parzysta –pamiętając, że parzyste jest także zero. W
rozkładzie 2013 = 3 × 11 × 61 takimi czynnikami są 3 i 11, ale każdy
występuje raz, czyli – niestety – dwie paczki nie wystarczą. A trzy?
Już
w III wieku Diofantos zauważył, że żadna liczba postaci 8m + 7 nie może
być sumą trzech kwadratów. Fermat podał pełny warunek: tercet kwadratów
jest wykluczony tylko w przypadku liczb 4 n (8m + 7) dla m i n ≥ 0.
Łatwo sprawdzić, że taką liczbą jest 2012 (n = 1, m = 62), natomiast
2013 nie, więc tercety są możliwe i to aż cztery:
2013 = 43^2 + 10^2 + 8^2 = 38^2 + 20^2 + 13^2 = 35^2 + 28^2 + 2^2 = 34^2 + 29^2 + 4^2 .
Zapewne magazynier w hurtowni wybrałby ostatni, bo największa paczka jest w nim mniejsza niż w trzech pozostałych.
Różnych
zagadnień i problemów dotyczących sum kwadratów jest wiele.
Rozwiązywanie jednych rodzi kolejne pytania, a szukanie odpowiedzi
stanowi jakby porządkowanie chaosu, czyli najczęściej powstają reguły
lub wzory. Na przykład, dopiero w roku 1979 udowodniono, że każdą liczbę
większą od 188 można przedstawić jako sumę co najwyżej pięciu różnych
kwadratów, a 128 jest największą, która sumą różnych kwadratów być nie
może.
Poniższe
zadania dotyczą nie tylko składania liczb z kwadratów. Jedno z nich
nawiązuje do jakby odwrotnego działania – partycji kwadratów.
1.
Do hurtowni puzzli przyszły trzy zamówienia – na 72, 73 i 74 sztuki.
Puzzle pakowane są w „kwadratowe” paczki. Magazynier obliczył, że każde
zamówienie może zrealizować, wysyłając dwie paczki, ponieważ: 72 = 6 2 +
6 2 , 73 = 8 2 + 3 2 , 74 = 7 2 + 5 2 . Po tygodniu pojawił się inny
tercet zamówień na n, n + 1 i n + 2 sztuki, z których każde także
zostało obsłużone dwiema paczkami. Proszę znaleźć n, jeśli jego wartość
była najmniejszą z możliwych, ale większą niż 72.
2.
Zgodnie z najprostszą, szkolną definicją liczba trójkątna równa jest
liczbie okręgów o jednakowej średnicy, którymi można wypełnić trójkąt
równoboczny. Ciąg takich liczb (0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,
…) jest blisko spokrewniony z kwadratami, ponieważ kwadratem jest suma
każdych dwu kolejnych wyrazów tego ciągu. Proszę znaleźć inny ciąg
rosnący o takiej samej własności, w którym kwadratem (najmniejszym
możliwym) będzie także każdy wyraz. W rozwiązaniu wystarczy podać
pierwsze sześć wyrazów tego ciągu.
3.
Wymieniona w Biblii i uchodząca za uosobienie szatana tzw. liczba
Bestii, czyli 666, jest frapująca także z matematycznego punktu
widzenia. Wiąże się z nią kilka arytmetycznych osobliwości. Na przykład,
równa jest sumie kwadratów siedmiu pierwszych liczb pierwszych:
2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2 + 13^2 + 17^2 = 666
666
można przedstawić także jako „szatański” tercet sum dwóch, trzech i
czterech kwadratów liczb całkowitych dodatnich. Suma dwóch kwadratów
może być tylko jedna: 225 + 441. Jakie siedem kwadratów składa się na
szczególne sumy trzech i czterech kwadratów równe 666 – takie
mianowicie, w których wszystkie kwadraty są różne i występuje w nich
pięć szóstek?
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz