piątek, 1 marca 2013

Kwadratowe kwadraty

Najmłodszym miłośnikom królowej nauk zdarza się dokonywać zaskakujących odkryć. Na przykład odejmując od siebie kolejne kwadraty liczb naturalnych (0, 1, 4, 9, 16, 25,…), otrzymujemy kolejne liczby nieparzyste (1, 3, 5, 7, 9,…). To może dziwić, bo wydaje się, że ciąg potęg powinien „przyspieszać” w jakiś bardziej wyszukany sposób niż numeracja domów po jednej stronie ulicy. Wystarczy jednak zapisać równanie na różnicę sąsiednich kwadratów:
 n^2 – (n–1)^2 = 2n – 1
 i wszystko staje się jasne – wynikiem jest wzór na liczby nieparzyste. Stąd wniosek: każda liczba nieparzysta jest różnicą dwóch kwadratów. Czy każda parzysta również? Nie, w tym przypadku różnicami są tylko wielokrotności czterech (4, 8, 12, 16, 20,…). A zatem różnica kwadratów może być każdą liczbą oprócz określonych wzorem 4k + 2 (2, 6, 10, 14, 18,…). Albo inaczej: każdą, którą można przedstawić jako iloczyn dwu liczb nieparzystych lub dwu parzystych. Z tym sformułowaniem wiąże się prosta metoda znajdowania wszystkich sposobów przedstawienia danej liczby jako różnicy dwóch kwadratów.