Najmłodszym miłośnikom królowej
nauk zdarza się dokonywać zaskakujących odkryć. Na przykład odejmując od
siebie kolejne kwadraty liczb naturalnych (0, 1, 4, 9, 16, 25,…),
otrzymujemy kolejne liczby nieparzyste (1, 3, 5, 7, 9,…). To może
dziwić, bo wydaje się, że ciąg potęg powinien „przyspieszać” w jakiś
bardziej wyszukany sposób niż numeracja domów po jednej stronie ulicy.
Wystarczy jednak zapisać równanie na różnicę sąsiednich kwadratów:
n^2 – (n–1)^2 = 2n – 1
i
wszystko staje się jasne – wynikiem jest wzór na liczby nieparzyste.
Stąd wniosek: każda liczba nieparzysta jest różnicą dwóch kwadratów. Czy
każda parzysta również? Nie, w tym przypadku różnicami są tylko
wielokrotności czterech (4, 8, 12, 16, 20,…). A zatem różnica kwadratów
może być każdą liczbą oprócz określonych wzorem 4k + 2 (2, 6, 10, 14,
18,…). Albo inaczej: każdą, którą można przedstawić jako iloczyn dwu
liczb nieparzystych lub dwu parzystych. Z tym sformułowaniem wiąże się
prosta metoda znajdowania wszystkich sposobów przedstawienia danej
liczby jako różnicy dwóch kwadratów.